Drehstromtechnik und der Verkettungsfaktor Wurzel 3

Wenn Du einen Schritt gehst und dann noch einen: Wie weit bist Du dann vom Startpunkt entfernt? Wenn Du meinst, es wären 2 Schritte …

… solltest Du Dir auf jeden Fall dieses Video anschauen! Falls nicht, solltest Du es eventuell trotzdem sehen, denn es geht um die versprochene Herleitung des Verkettungsfaktors. Viel Spaß damit, lieber Niesnutzer! Wenn Du magst, rechne doch anschließend noch ein paar Aufgaben. Oder hast Du schon alle durch?

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Wenn Du einen Schritt gehst und dann gehst Du noch einen Schritt. Wie viele Schritte bist Du dann von der ursprünglichen Stelle entfernt? 2 sagst Du? Na ja, damit könntest Du Recht haben… manchmal. Aber Du könntest auch manchmal falsch liegen. Warum, das siehst Du heute in meinem Video. Hallo lieber Niesnutzer, schön dass Du wieder da bist! Bei mir geht es heute um den Verkettungsfaktor. Ich begleiche also ein paar Schulden. Ich hatte Euch nämlich ein Video zum Thema Verkettungsfaktor versprochen. Die beiden Videos in denen der Verkettungsfaktor schon vorkam, die verlinke ich jetzt einfach mal hier oben rechts in der Ecke. Also voraussetzen würde ich bei diesem Video mal, dass Du so was hier schon mal gesehen hast. Was ist das? Das ist ein Zeigerdiagramm von verschiedenen Spannungen. In grün haben wir hier die Außenleiterspannungen zwischen L3 und L1, zwischen L1 und L2. Zwischen L2 und L3. Ja und in orange haben wir die Spannungen vom Außenleiter richtung Neutralleiter. Also von L3 nach N von L2 nach N und von L1 nach N. Und wie ich in den Videos, die ich gerade hier verlinkt habe, schon mal erwähnt hatte, sind diese Spannungen und diese Spannungen hier… also die orangen und die grünen Spannungen über den sogenannten Verkettungsfaktor miteinander verknüpft. Was ist jetzt dieser Verkettungsfaktor? Naja, bei dem Verkettungsfaktor geht es halt darum, die Länge an der Stelle berechnen zu können, von so einem Pfeil. Und die Länge von so einem Pfeil, die ist halt immer proportional zur Spannung die dieser Pfeil repräsentiert. Wir machen mal ein Beispiel. Ich nehme jetzt mal hier auf der rechten Seite das Dreieck U12, U2N und u1N heraus. Ja. Und jetzt hätten wir, sagen wir mal die Spannung U1N und U2N, die hätten wir gegeben. Die sind ja gleich groß. Haben nur eine unterschiedliche Richtung. Die hätten wir gegeben. Und die Spannung U12, die wäre jetzt gesucht. Eine Sache haben wir noch gegeben. Und zwar der Winkel zwischen diesen beiden Spannungen, das sind 120°. Nämlich wenn man hier guckt, dann habe ich ja drei Winkel, die alle drei gleich groß sind. Und wenn ich dann 360°, also einen Vollkreis genau durch 3 teile, dann kommen genau 120° raus. Also wir haben 120° Winkel. Ja, und das ist jetzt eigentlich immer so ein bisschen meine Lieblingsstelle als Lehrer im Unterricht. Denn dann sage ich so, das kannst Du doch bestimmt berechnen. Und dann sagen viele Schüler: „Ne, habe ich nie gehört, wie soll ich das denn berechnen können?“ Und dann sage ich ‚tja, hättest Du damals mal in Geometrie aufgepasst, als ich hier das erklärt habe‘. Es gibt nämlich eine wunderschöne mathematische Vorschrift, mit der man das berechnen kann. Die heißt Cosinus-satz. Vorsicht bitte nicht verwechseln mit der Cosinus- funktion. Wir sprechen hier vom Cosinus- satz. Und für den Cosinus-satz, da zeichne ich das gleiche Dreieck, was ich hier gezeichnet habe noch mal. Da nehme ich aber dieses mal keine Pfeile sondern einfach Linien. Die Strecken benenne ich jetzt so ganz allgemein mit A, B und C. Und den Winkel, den nenne ich auch ganz allgemein mit gamma. Ja, wer von Euch weiß denn den Cosinus- satz zufälligerweise noch? Ja, nicht nur zurücklehnen und gucken, sondern auch mal nachdenken. Also ich lasse dir mal ein Sekündchen Zeit zu überlegen. Wie war der Cosinus-satz dennoch mal? Ja sie raten jetzt rum… ich blend den Cosinus-satz jetzt ein. Also für so ein Dreieck, wenn ich jetzt die Strecke C haben möchte, bei den bekannten Strecken A und B. Dann kann ich das berechnen mit C = wurzel(A^2 + B^2 – 2ABcos(gamma)). Wunderschön, in diesem speziellen Fall, haben wir ja gesagt, wir haben ein symmetrisches System. Deshalb sind die Längen A und B genauso wie die Spannungen U2N und U1N hier, die die gleiche Länge haben, auch gleich lang. Ja, also wenn ich das jetzt hier einsetze, dann sieht die Formel wie folgt aus. Und jetzt kann ich schon mal hier das AA wegstreichen und durch A^2 ersetzen. Jetzt wieder bitte nicht nur konsumieren, sondern auch mit nachdenken. Wie können wir uns denn jetzt die Formel noch ein bisschen schöner machen? Meine nächste Idee wäre den Cosinus schon mal zu ersetzen. Denn die 120° hier in der Ecke, die wollen wir eigentlich beibehalten. Also könnte ich sagen Cosinus von 120° ist gleich… Na, wie groß? Da habe ich gerade eine schöne Idee. Da werde ich Euch auch mal ein sehr schönes Video zu machen. Bei Gelegenheit. Was ich dann auch hier oben verlinke. Wie Ihr auswendig die Cosinus- und Sinuswerte von 0 bis 180 Grad in verschiedenen Stufen wissen könnt. Also die 120°, die würde man dann also zum Beispiel wissen. Ich mache hier an der Stelle jetzt nur mal ein kleines Beispiel. Und zwar habe ich hier mal die Cosinus- funktion. Und bei der Cosinusfunktion, da wäre ja hier beim ersten 0-Durchgang die 90°. Und dann bei der negativen Spitze, da wären die 180°. Dann hätte ich hier also 30° Schritte dazwischen. Das heißt bei den 120° bin ich hier. Und da hätte ich genau (-1/2). Also Cosinus von 120° ist genau (-1/2). Das würde ich jetzt mal hier einsetzen. Und ich habe das erstmal wieder weggelassen, damit Du die Chance wieder hast selber nachzudenken. Was kommt bei diesem ganzen Term hier hinten raus? Also ich hab die 2 und ich habe die (-1/2). Das A^2 schreibe ich schon mal hin. So, also 2(1/2) das wäre also 2 geteilt durch 2, kann ich natürlich direkt wieder wegstreichen. Denn das ist ja gleich 1. Und hier stand aber noch ein Minus davor. Weil hier aber Minus, da und da ein Minus ist. Und Minus mal Minus ist ja PluS. Kann ich aus diesem Minus dann einfach ein Plus machen. Das heißt, unterm Strich habe ich schon jetzt hier einmal, zweimal, dreimal A^2. So 3 A^2. und was kann ich daraus jetzt noch machen? Ich könnte einzeln von jedem Element dieses Produkts hier die Wurzel ziehen. Wurzel aus 3, das kann ich wirklich nicht mehr schöner schreiben. Das wäre dann auch Wurzel aus 3. Und Wurzel aus A^2, das wäre gerade A. Ja, also und die länge C ist wurzel(3) mal so lang wie A. Und jetzt weiß ich ja genau was an dieser Stelle immer kommt. Wenn ich den Schülern das so gezeigt habe. Dann sagen die so: „Mensch, ich habe gedacht das wär Mathematik und nicht Deutsch hier. Jetzt macht doch mal mit Zahlen!“ Okay, okay, okay natürlich habe ich ja auch schon was vorbereitet. Ich rechne das ganze jetzt mal mit richtigen Zahlen. Also ein Beispiel. Da ist wieder das Dreieck, da ist wieder die unbekannte Seite C, Da ist wieder der bekannte Winkel von 120°. Und jetzt nehmen wir mal die einfachste Zahl, die man sich so denken kann. 1 und 1. dann natürlich auch hier unten. Also beide Seiten haben jetzt die Länge 1. Sagen wir zum Beispiel mal einfach die Länge 1 Schritt. Also wenn das Ganze genau einen Schritt lang ist, dann kann ich ja mal anfangen zu rechnen und zwar einzusetzen von dem was ich hier oben so habe. A^2 + B^2 und so weiter… Müsste ich jetzt hier die verschiedenen Werte einsetzen. Ich habe hier nur unter die Wurzel schon mal das hin geschrieben, was bleibt. Also A ist in diesem Fall 1 also müsste ich einsetzen 1^2. B ist in diesem Fall auch 1. Also setzte ich wieder 1^2. Und da A und B hier auch eins sind, kann ich das jeweils wieder einsetzen. Cosinus(gamma), wenn gamma = 120° ist, (-1/2) ist, kann ich das hier hinten so hinschreiben. Und dann hätte ich unter der Wurzel: 1+1, denn 1 im Quadrat ist 1. Also 1+1 Dann hätte ich diesen ganzen Term hier hinten noch. Und da kannst Du jetzt selber mal kurz nachdenken. Was käme bei diesem Term hier raus? 11 = 1 12 = 2, dann habe ich das alles hier abgedeckt. 2(-1/2) = (-2)/2. und 2/2=1 also ist das Minus 1. Und dann habe ich hier wieder noch ein Minus also ist das insgesamt + 1. Und zähle ich jetzt zusammen. und Ihr habt schon erraten. dann habe ich Wurzel aus 3. Und dieses Wurzel aus 3, das nennt man dann eben Verkettungsfaktor, wenn man von Spannungen in Dreieck- oder Sternschaltung spricht. Also kommt wir nochmal zurück nach oben. Wenn Du Lust hast, dann rechne doch mal selber vielleicht mit einer anderen Zahl. Und drück jetzt einfach auf Pause. Dann rechnest Du mal mit einer anderen Zahl sagen wir A = B = 5. Dann schreibst Du mir unten in das Ergebnis, was Du dann raus bekommen hast für einen Wert. Also weiter geht’s. Es geht hier oben weiter. Da habe ich ja jetzt ganz konkret noch eine Zahl und zwar nicht nur eine Zahl, sondern sogar eine Einheit mit dazu. Ich beginne einfach zu rechnen. Und schreibe wieder einfach die Formel hierhin. Und müsste jetzt einsetzen. Also hier A. Die Seite A ist in diesem Fall U1N. Also kommt dahin (U1N)^2. B wäre (U2N)^2. Und so weiter kann ich das Ganze dann hier einsetzen. Und ich habe wieder den Cosinus von 120°. Den habe ich jetzt einfach mal direkt dahin geschrieben. Du kannst wieder ein bisschen mit nachdenken. U1n, wie groß ist das noch mal? Ja wohl. Genau 230 Volt. Und U2n haben wir gesagt, ist genauso groß. Auch 230 Volt. Und dann wären das hier hinten auch 230 und 230 Volt. Da habe ich jetzt einfach mal direkt geschrieben 230 Volt zum Quadrat. Das (-1/2), das haben wir ja vorhin schon besprochen, wo das herkommt. Jetzt habe ich aber nur 1/2 geschrieben. Das heißt das Minus ziehe ich jetzt einfach mal direkt hier mit vorne rein. Und mache aus diesem Minus dann ein Plus. In der nächsten Zeile wäre das also dann einmal, zweimal und dreimal, hier das wird wieder 1 zusammen. 2(1/2) wäre 1. Also einmal, zweimal, dreimal (230 Volt)^2. Also dieser ganze Term, der ist ebenfalls plus 230 Volt. Ja, also 2*(230 volt)^2 und dann habe ich die Wurzel hier vorne. Wurzel(3), das kann ich wieder nicht schöner schreiben. Wenn ich hier die Wurzel ziehe, dann ziehe ich die Wurzel aus (230 volt)^2, wären dann genau diese 230 Volt. Und Ihr habt es schon erraten. 230 Volt mal wurzel(3) das sind genau 400 Volt. So, wenn Du jetzt aufgepasst hast, dann weißt Du genau warum 1 + 1 manchmal nicht gleich 2 ist. Und vor allem warum 230 Volt + 230 Volt nicht 460 Volt sind. So, lieber Niesnutzer, vielen Dank für das Zugucken. Für Dich bleiben jetzt genau noch fünf Dinge zu tun. Und zwar 1. gib diesen Video einen Like, wenn es Dir gefallen hat. 2. rechne das mal durch, was ich vorhin gesagt habe, mit der Kantenlänge von 5. Und schreibe es mir es unten in die Kommentare was dabei rausgekommen hast. 3. falls Du es noch nicht getan hast diesen Kanal hier abonnieren. Das kannst Du hier auf Youtube, das kannst Du aber auch auf facebook und Du kannst es direkt kostenlos auf „www.sprich-über-Technik.de“ per e-mail abonnieren. Da hast Du auch noch den Vorteil, dass Du dann ein Passwort bekommst mit dem Du… und das ist jetzt ein 4. to do Arbeitsblätter herunterladen kannst, um noch weiter zu rechnen. Und das weiter zu rechnen das ist das 5. to do. Denn wie ich immer sage, Sportschau gucken gibt ja keine Muskeln. Du musst auch selber ran. Ich sag noch mal, vielen Dank und wir sehen uns wieder nächsten Mittwoch! Tschüss zusammen! [Musik]